Trong chương trình học phổ thông môn Toán phần kiến thức trọng tâm tam giác rất quan trọng. Vì vậy, chúng ta cần phải nắm vững khái niệm, tính chất, công thức để có thể vận dụng chính xác vào bài tập. Trong bài viết dưới đây chúng tôi sẽ tổng hợp lại phần kiến thức quan trọng về trọng tâm là gì để bạn có thể tham khảo và ôn lại phần kiến thức này.
Trọng tâm tam giác là gì?
Ta có khái niệm trọng tâm của tam giác như sau: Giao điểm của 3 đường trung tuyến có điểm xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác được gọi là trọng tâm của tam giác đó. Trong đó, đường trung tuyến của một tam giác chính là đoạn thẳng được nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện tam giác đó.
Ví dụ minh họa:
Tam giác ABC có trọng tâm tam giác là điểm G
Cho tam giác ABC với AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến có điểm xuất phát từ đỉnh tam giác là A, B, C.
Tam giác ABC có trọng tâm tam giác là điểm G – giao của 3 đường trung tuyến
Khi đó, các điểm giao với đường trung tuyến của tam giác ABC là AM, BN, CP sẽ giao nhau tại điểm G. Từ đó, nhìn vào hình trên ta có thể thấy 3 đường AM, BN, CP đang đồng quy tại điểm G → G chính là trọng tâm của tam giác ABC đã cho.
Trọng tâm tam giác có tính chất thế nào?
Tính chất trọng tâm của tam giác đó là: Khoảng cách được tính từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh sẽ bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến ứng với đỉnh của tam giác đó.
Để dễ hiểu hơn về phần tính chất trọng tâm của tam giác ta có ví dụ minh họa sau:
Xét tam giác ABC có 3 đường trung tuyến lần lượt là AM, CP, BN,. Trong đó G là trọng tâm như hình vẽ bên dưới.
Ví dụ minh họa về tính chất của tam giác ABC có trọng tâm G
Ngoài ra, theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có thể thấy một số hằng đẳng thức có liên quan đến trọng tâm tam giác. Trong đó, điểm G là trọng tâm sẽ chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau cụ thể:
Điểm G chia đường trung tuyến AM thành các phần:
AM = 3/2 AG; AM = 3 GM ; AG = 2 GM; GM = 1/2 AG,…
Điểm G chia đường trung tuyến CP có các phần:
CP = 3 GP; CP = 3/2 CG; GP = 1/2 CG; CG = 2 GP; …
Tương tự với đường trung tuyến BN, ta có các phần:
BN = 3/2 BG; BN = 3 GN; BG = 2 GN; GN = 1/2 BG,…
Cách xác định trọng tâm tam giác chi tiết
Để xác định được trọng tâm của một tam giác bạn có thể làm theo 2 cách đơn giản sau:
Cách 1: Theo giao điểm 3 đường trung tuyến trong tam giác
Vẽ 1 tam giác ABC bất kỳ nào đó.
– Trên cạnh bất kỳ của tam giác ví dụ trên cạnh BC xác định trung điểm M sao cho MC = MB.
– Từ đỉnh A của tam giác ABC ta nối đỉnh A với trung điểm M → tạo thành đường trung tuyến AM.
– Làm tương tự như trên với các đỉnh còn lại của tam giác. Bạn chỉ cần vẽ thêm 2 đường trung tuyến của tam giác và thực hiện như trên.
Như vậy tam giác ABC với 3 đường trung tuyến nằm giao nhau tại điểm B. Khi đó, điểm G được gọi là trọng tâm của ABC cần tìm.
Cách 2: Tính theo tỷ lệ trên đường trung tuyến
Vẽ một tam giác ABC bất kỳ.
– Trên cạnh của tam giác đó xác định một trung điểm N. Ví dụ: xác định N là trung điểm của cạnh BC sao cho NC = NB.
– Nối đỉnh C với điểm N ta được đường trung tuyến CN.
– Trên đoạn thẳng CN, xác định điểm G sao cho CG = 2/3 CN.
Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta xác định được điểm G chính là trọng tâm của tam giác đó.
Các trọng tâm tam giác của hình tam giác đặc biệt
Trọng tâm tam giác cân
Để tìm trọng tâm của tam giác cân bạn cần xác định như cách xác định trọng tâm với tam giác thường. Tuy nhiên vì tam giác tam giác cân đặc biệt nên ta có ví dụ sau:
Xét tam giác cân ABC, cân tại đỉnh A. Ta gọi G là trọng tâm của tam giác cân trên. Vì tam giác cân tại đỉnh A nên khi đó đường thẳng AG vừa là đường cao, là đường phân giác, cũng vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Như vậy ta xác định trọng tâm của một tam giác cân cũng làm như cách xác định với tam giác thường.
Cách xác định trọng tâm của tam giác cân tại đỉnh A
Trọng tâm tam giác vuông
Trọng tâm của tam giác vuông PMN với góc vuông tại đỉnh M
Trường hợp tam giác vuông cách xác định trọng tâm cũng như cách xác định tam giác thường.
Ví dụ minh họa: Cho tam giác PMN vuông tại M, điểm O được gọi là trọng tâm của tam giác. Vì MO là đường trung tuyến của góc vuông M ta có:
MD = 1/2 PN = PD = ND
Vậy tam giác PMD, tam giác DMN đều cân tại D
Ta có: MO vuông góc với PN => tam giác PMD và DMN đều vuông tại D.
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Cũng như cách xác định trọng tâm của các tam giác, đối với trọng tâm tam giác vuông cân bạn có thể xác định như với tam giác thường. Bên cạnh đó để xác định được trọng tâm của tam giác vuông cân bạn có thể xác định theo 2 trường hợp sau:
I là trọng tâm tam giác vuông cân ABC vuông tại đỉnh A
Xét tam giác ABC là là tam giác vuông cân tại đỉnh A với I là trọng tâm của tam giác. Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp tam giác vuông: Như phần trọng tâm tam giác vuông ở trên ta sẽ có AI sẽ vừa là đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác
→ AI vuông góc với BC.
Trường hợp tam giác cân tại A theo tính chất của tam giác cân AB = AC
→ BN = CP và AN = BN = CP = AP
Trọng tâm tam giác đều
Tương tự các cách xác định của các tam giác có hình đặc biệt là tam giác đều cũng được xác định như tam giác thường.
G là trọng tâm tam giác đều ABC đồng thời là giao của 3 đường trung tuyến
Xét tam giác ABC đều với điểm G là giao điểm của 3 đường trung tuyến trong tam giác này. Theo tính chất của tam giác đều ta sẽ có G vừa là trọng tâm, trực tâm, hay tâm đường tròn nội tiếp,tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều.
Một số bài tập thực hành về trọng tâm tam giác
Bài 1 : Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm và có trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI của tam giác này.
Hình Bài 1
Lời giải:
Theo đầu bài: Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC, còn đoạn AD là đường trung tuyến:
→ AI = 2/3 AD (theo tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác)
→ AG = 2/3 x 12 = 8 (cm).
Đáp số: độ dài đọan AI là 6 cm.
Bài 2: Gọi I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Bạn hãy chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Lời giải:
Lần lượt gọi R, O, S là trung điểm của các cạnh trong tam giác là MN, MP, PN. Khi đó, các đường MS, PR, NO sẽ giao nhau và đồng quy tại trọng tâm I.
Theo đầu bài đã cho ∆MNP đều:
→ MS = PR = NO (1).
Mà theo giả thiết trên I là trọng tâm của ∆MNP do đó dựa theo tính chất đường trung tuyến ta có:
MI = 2/3 MS, NI = 2/3 NO PI = 2/3 PR (2).
Từ (1) , (2) → IM = IN = IP.
Như vậy qua bài viết trên đây thapgiainhiettashin đã giúp bạn tổng hợp lại kiến thức về đường trung tuyến, khái niệm quan trọng về trọng tâm tam giác là gì, tính chất và các cách xác định trọng tâm tam giác. Mong rằng với những kiến thức trên đây sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết và có thể vận dụng vào việc giải toán hình học chính xác nhất. Chúc bạn học tập đạt được nhiều điểm tốt nhé!